【数据结构】树状数组

引言

树状数组可以说是最好写，也是最好用的一种数据结构了～

树状数组

概览

树状数组是用数组存储的，它并没有显式的树形结构，而是用数组下表的二进制表示中最低位1的位置构建的一个隐式的树形结构。

这里不盗图了，要有版权意识～所以，更形象的展示可以参考这个博客中的AB图。

关于lowbit

lowbit当然不是low逼的意思啦～

lowbit(x)=x&-x，要理解这个，首先要知道计算机中补码的概念。如+8，因为正数的补码为其本身，所以其的二级制表示为01000（最高位是符号位）。而-8的补码将+8的所有位（包括符号位）取反，然后加1的结果，也就是11000。

所以，这个函数的作用就是求x最低位1所对应的数字，lowbit(8)=1000=8。

操作

树状数组支持单点修改，区间查询操作。

其中单点修改是增量修改，区间查询支持具有区间可合并性质的属性。

当然，经过改造也可以进行区间修改，大致思想就是引入一个delta数组，delta[i]表示区间 [i, n] 的共同增量，然后剩下的就不多说了，可以自行推导了～

代码

单点修改+区间查询

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void update(int x, int ad) {
    for (; x <= n; x += lowbit(x)) c[x] += ad;
}

int getsum(int x) {
    int sum = 0;
    for (; x ;x -= lowbit(x)) sum += c[x];
    return sum;
}

应用

找个比较水的题，poj3321，用树的先序遍历构建成数组，然后在上面跑裸的树状数组就好了～

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#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>

using namespace std;

#define N 100010
#define lowbit(x) x&-x

int head[N], nxt[N], to[N];
int c[N];
int cnt, num;
int n, m;
int in[N], out[N];

void update(int x, int ad) {
    for (; x <= n; x += lowbit(x)) c[x] += ad;
}

int getsum(int x) {
    int sum = 0;
    for (; x ;x -= lowbit(x)) sum += c[x];
    return sum;
}

void add(int u, int v) {
    to[cnt] = v; nxt[cnt] = head[u]; head[u] = cnt++;
}

void dfs(int x) {
    in[x] = num;
    for (int i = head[x]; ~i; i = nxt[i]) {
        update(++num, 1);
        dfs(to[i]);
    }
    out[x] = num;
}

int main() {
    memset(head, -1, sizeof head);
    memset(nxt, -1, sizeof nxt);
    cnt = num = 0;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1, a, b; i < n; i++) {
        scanf("%d%d", &a, &b);
        add(a, b);
    }
    update(++num, 1);
    dfs(1);

    scanf("%d", &m);
    char str[5];
    int x;
    getchar();
    while (m--) {
        scanf("%s%d", str, &x);
        if (str[0] == 'Q') {
            printf("%d\n", getsum(out[x]) - getsum(in[x] - 1));
        }
        else {
            if (getsum(in[x]) - getsum(in[x] - 1) == 1)
                update(in[x], -1);
            else
                update(in[x], 1);
        }
    }
    return 0;
}

（待更新…）